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PGD | §1.3 – Información compuesta medida en bits

< §1.2 – Información compuesta

¿Qué sucede con una fuente de información compuesta, cuando las fuentes simples que la constituyen tienen su información expresada en bits? Para descubrirlo, presentemos primero un ejemplo para comprender la relación existente entre variedad y cantidad de bits.

Ejemplo 1 – Elección de una pieza de ajedrez

En el ajedrez, el conjunto completo de piezas de un solo color (si distinguimos como diferentes los ocho peones, las dos torres, los dos caballos y los dos alfiles) consta de un total de 16 piezas. ¿Cuántos bits de información se requieren para comunicar la elección de una cualquiera de estas piezas?

El conjunto de opciones tiene entonces variedad 16; gracias a la fórmula anterior podemos averiguar el número de bits n buscando aquél que verifique

V = 2n = 16.

Un simple tanteo con las primeras potencias de dos nos dice que n es 4, pues

24 = 16.

Por tanto: se requieren 4 bits de información para elegir o especificar una pieza de ajedrez.

¿Qué significado tiene este resultado en términos “humanos”? Simplemente que pueden formularse 4 preguntas tipo Sí-No de manera que sus respuestas identifiquen sin ambigüedad la pieza en cuestión. Esto es suficiente para nuestros fines, pero será ilustrativo construir efectivamente un grupo de cuatro preguntas que sirvan para ubicar una pieza cualquiera.

Supongamos que la pieza que intentamos comunicar es el caballo marcado en la figura que seguidamente se muestra. Construiremos las cuatro preguntas del tipo Sí-No necesarias para ubicarla sin ambigüedad. En cada paso enunciaremos la pregunta, la respuesta correspondiente y el conjunto de piezas descartadas por ella. De acuerdo a lo analizado en el capítulo anterior, las preguntas se elegirán de manera que tanto un sí como un no descarten la mitad de las posibilidades.

chess-0
Selección de la pieza a comunicar. En este ejemplo, elegimos el caballo del rey.

A continuación formularemos las preguntas. Cada respuesta nos permitirá dividir en dos el conjunto de candidatos, lo que indicaremos en la imagen mediante una linea roja que separa las respuestas posibles (en claro) de las descartadas (en oscuro). Al identificar finalmente la pieza elegida, la cantidad de líneas trazadas será la cantidad de preguntas requeridas para esa identificación y, por lo tanto, el número de bits necesario.

chess-1
Primera pregunta:
— ¿Es una pieza del lado de la dama?
— No.
chess-2
Segunda pregunta:
— ¿Está en la fila superior?
— No.
chess-3
Tercera pregunta:
— ¿Está en la mitad derecha?
— Sí.
chess-4
Cuarta pregunta:
— ¿Está en la mitad derecha?
— No.

Hemos probado, entonces, que con cuatro preguntas (cuyas respuestas sean Sí o No) podemos identificar una pieza cualquiera. Luego, se requieren 4 bits de información.

Fuente de información compuesta a partir de fuentes simples expresadas en bits

Ahora estamos preparados para encontrar la relación entre la cantidad de bits de una fuente compuesta y la cantidad de bita de las fuentes simples que la forman. Para analizarlo, volvamos una vez más al ejemplo de las impresoras y tintas. Recordemos que el conjunto de impresoras tiene variedad 2 (1 bit) y el conjunto de tintas tiene variedad 4 (2 bits). La información conjunta impresora + tinta, según vimos, tiene variedad 8 (3 bits). Así resulta el cuadro siguiente:

 Fuente simple 1Fuente simple 2Fuente compuesta
AlfaCianImpresora Alfa, tinta Cian
BetaMagentaImpresora Alfa, tinta Magenta
AmarilloImpresora Alfa, tinta Amarilla
NegroImpresora Alfa, tinta Negra
Impresora Beta, tinta Cian
Impresora Beta, tinta Magenta
Impresora Beta, tinta Amarilla
Impresora Beta, tinta Negra
V =248 (= 2 x 4)
n = 123

Parece ser que, cuando la información se expresa en bits, la información resultante de dos fuentes de información simple se obtiene sumando los números de bits respectivos, ya que 3 bits (variedad 8) es la suma de 1 bit (variedad 2) + 2 bits (variedad 4). Esta relación es general[1], y podemos entonces concluir:

Cuando se expresa en bits, la información resultante de varias fuentes de información simple es la suma de la cantidad de bits de cada una.

Ejemplo 2 – Mensaje de texto

Supongamos que podemos restringir los caracteres de un mensaje de texto a un conjunto de 32 símbolos, entre las letras del alfabeto y algunos símbolos de puntuación. ¿Cuánta información transporta una palabra de 8 letras? 

Para aplicar nuestro modelo deberíamos aceptar dos cosas: 1) que un conjunto de 8 símbolos cualesquiera forman una palabra válida; 2) que cualquiera de los 32 símbolos disponibles para formar el mensaje tiene la misma posibilidad de ser elegido. Entonces[2], como cada letra se puede elegir de manera independiente de las demás, y cada una de ellas transporta 5 bits de información (dado que 25 = 32), la información compuesta por las 8 letras será

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 8 x 5 = 40 bits.

Si quisiéramos expresar la información compuesta a través de la variedad correspondiente (es decir, el número de todas las posibles palabras de 8 letras) deberemos calcular

240 = 1.099.511.627.776,

es decir, más de un billón de posibilidades. Nótese cuánto más sencillo es utilizar bits, por la simplicidad de cálculo y la magnitud de los resultados.

Actividades para el capítulo §1.3

  1. En el ejemplo de las piezas de ajedrez, antes de comenzar a hacer preguntas del tipo sí-no para averiguar la pieza elegida, alguien me anticipa que la pieza en cuestión no es un peón. ¿Cuántos bits de información contiene ese dato?
  2. Me piden adivinar una carta de un mazo de póker de 32 cartas. En este tipo de cartas hay cuatro palos: trébol (de color negro), pique (negro), corazón (rojo) y diamante (rojo). ¿Cuántas preguntas necesito hacer (del tipo sí-no) para dar con la carta?
  3. En el ejemplo anterior, alguien me “sopla” que la carta en cuestión es roja. ¿Cuántas preguntas necesito hacer en ese caso?
§1.4 – El dominio analógico vs. el dominio digital >

1 Esto puede en realidad demostrarse, ya que si una fuente tiene n1 bits (y variedad V1 = 2n1) mientras que otra fuente tiene n2 bits (y variedad V2 = 2n2), la variedad total es V = V1 x V2 = 2n1 x 2n2 = 2(n1 + n2), es decir, la variedad total corresponde a un número de bits igual a n1 + n2.
2 No hace falta decir que esto no es así en situaciones normales, aunque podría ser el caso de comunicar una contraseña, ya que ambas condiciones podrían verificarse entonces. Recordemos que, cuando apliquemos estas ideas a la gráfica, las cosas se disponen de manera que estas condiciones se cumplen.