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PGD | §1.4 – El dominio analógico vs. el dominio digital

< §1.3 – Información compuesta medida en bits

En realidad, existe otra razón importante para preferir el uso de la unidad binaria sobre la variedad a la hora de medir información, y tiene que ver con las posibilidades de manipular esa información mediante dispositivos tecnológicos. A su vez, la utilidad de estos dispositivos estará dada por su capacidad para obtener información del medio exterior, procesarla y así lograr un resultado práctico.

Por otro lado, la información se nos puede presentar de maneras que no parecen, al menos por el momento, adaptables al modelo de mensajes descripto hasta aquí. Vamos a precisar su naturaleza.

Magnitudes continuas y magnitudes discretas

En la vida diaria tenemos en general la idea de que muchas de las cosas que vemos y usamos son continuas, es decir, cosas que pueden, al menos en principio, dividirse en cualquier fracción que nos plazca, o bien modificarse gradualmente. Por ejemplo, la luz que recibimos del Sol varía durante el día desde su intensidad máxima al mediodía hasta la noche pasando por todos las intensidades intermedias. La distancia que separa dos personas que caminan en diferentes direcciones cambia gradualmente; si hace un minuto estaban a 10 metros de distancia y ahora están a 100 metros, es preciso aceptar que hace menos de un minuto estuvieron, por ejemplo, a 44,5 metros. Esta propiedad se denomina continuidad, y expresa ni más ni menos que para cambiar algo entre un valor y otro se ha de pasar por todos los valores intermedios. Las magnitudes que exhiben esta propiedad se denominan continuas.

Cuando se trata de medir una magnitud continua se presenta una dificultad práctica. Exceptuando a la longitud, casi cualquier otra magnitud es inaccesible al examen directo de nuestros sentidos. ¿Cómo haríamos para medir una temperatura usando solamente el tacto? Aparece así la idea de encontrar algún mecanismo de convertir esa magnitud en otra que varíe de la misma manera, y cuya naturaleza sea tal que permita ser apreciada por los sentidos. Así, por ejemplo, para medir una temperatura puedo emplear una columna de mercurio que se dilata y contrae según la variación de aquélla. De esta forma hemos convertido una magnitud (temperatura) en otra (longitud) que varía en forma análoga. Por esta razón:

Desde el punto de vista práctico —vale decir tecnológico o de implementación—, a las magnitudes continuas se las denomina analógicas o análogas.

No obstante, hay magnitudes que no son continuas. La población de una ciudad consta de un determinado número de personas. Para cambiar el número de pobladores podremos agregar o quitar personas, pero siempre habrá que hacerlo en múltiplos de uno. Es decir, no puedo variar esa población en una cantidad menor a uno, puesto que esta unidad es una persona; no tiene sentido hablar de fracciones. Otro ejemplo es el dinero; en la actualidad, no existiendo monedas de valor inferior a los 5 centavos, cualquier transacción que se haga en efectivo deberá estar expresada en una cantidad múltiplo de 5 centavos. Entonces vamos a establecer:

Las magnitudes expresadas en unidades que no pueden dividirse se llaman discretas.

Conversión de magnitudes continuas en discretas

En este punto, podemos intuir que de ambos tipos de magnitudes, las discretas serán las más apropiadas para nuestro modelo de mensajes; simplemente hay que considerar un conjunto de valores suficientemente amplio —o, lo que es lo mismo, fijar el mayor valor posible de esa magnitud, o el total de elementos de ese conjunto— y asignar a cada una un mensaje. Un ejemplo podría ser la asignación de un “número de dominio” a cada vehículo, a los efectos de su identificación[1]. En este caso, cada combinación de dos letras seguidas de tres dígitos seguidos de dos letras representará un número de dominio posible. Las combinaciones son numerosas, y aunque sean limitadas, se prevén suficientes para el parque automotor existente.


Variedad en un número de dominio, un conjunto discreto. Cada símbolo aporta su variedad; la variedad total (es decir, el número de vehículos identificables) se obtiene a partir de estas fuentes simples. Ver nota al pie.

En cambio, esta estrategia no parece viable con las magnitudes continuas. En el ejemplo antes citado sobre las distancias, entre 10 m y 100 m hay infinitas distancias posibles. Según el razonamiento anterior, deberíamos asignar un mensaje a cada posible distancia. No podemos diseñar un sistema que reconozca infinitos mensajes; luego no podemos medir esa información. Dado que son muchas las magnitudes continuas con las que tratamos en la vida diaria (distancia, tiempo, velocidad, peso, etc.) parecería que nuestro modelo está demasiado simplificado.

Dos observaciones nos ayudarán, en cambio, a perseverar con nuestro sencillo modelo. Por un lado es necesario señalar que la noción de continuidad es en realidad una abstracción producto de nuestra experiencia sensorial, que es incapaz de percibir la granularidad que existe, por ejemplo, en la materia, y fue una lenta tarea intelectual comprender que la materia no es continua en contra de nuestros sentidos[2].

Por otro lado, la noción de continuidad nos lleva a situaciones que no preocupan al matemático pero sí a quien debe manejarlas prácticamente. Debo, por ejemplo, colocar un tirante en la diagonal de un bastidor cuadrado, para aumentar su resistencia, cuyo interior es de 1 metro de lado. ¿Qué longitud debe tener este tirante? Un matemático me dirá, sencillamente, que su longitud en metros es igual a la raíz cuadrada de 2. Entonces, eso significa que debo cortar un tirante con una longitud de 1,4142135… metros, es decir, 1 metro 414 milímetros 213 milésimas de milímetro… ¿Podré hacer un corte tan preciso? ¿Cómo mido con semejante precisión?

Mientras discutimos esta cuestión, un carpintero hace rato cortó ese tirante y lo unió al bastidor. Él sabe (o intuye) que esa precisión es ilusoria; un trozo de madera podrá cortarse, con extremo cuidado, con un error de un milímetro; luego expresar esa longitud con más precisión que un milímetro es inútil.

Las limitaciones prácticas impuestas por el uso de una “precisión razonable” pueden ser también de otro carácter. Consideremos la vestimenta. Si medimos la longitud del brazo de una persona durante su vida veremos que ha cambiado con continuidad; no obstante, si esta persona ha tenido que comprar una camisa en diferentes épocas de su vida habrá elegido en cada caso uno de entre varios talles distintos. En este caso, por razones comerciales, se han expresado las dimensiones físicas del cuello, brazos y torso de una persona a través de una unidad discreta llamada talle.

La existencia de una precisión razonable es la llave que nos permite resolver en la práctica la asignación de los (infinitos) valores de una magnitud continua a un conjunto (finito) de mensajes diferentes. Un ejemplo aclarará esta idea.

Para saber si una persona tiene fiebre, necesitamos conocer su temperatura corporal, una magnitud continua. Ahora bien, en la práctica observamos dos hechos:

  1. No necesitamos medir cualquier temperatura; podemos asumir que su valor estará comprendido, digamos, entre 33° y 42°;
  2. Nos alcanza conocer este valor con una precisión de, por ejemplo, una décima de grado (0,1°); saber que una persona tiene 39,15° de temperatura nos aporta la misma información que saber que tiene 39,1° ó 39,2° (nuestra “precisión razonable”).
thermometer
Termómetro clásico de mercurio de uso clínico. Cada marca o graduación es un mensaje; existen 10 marcas por grado, luego la “precisión razonable” dada por esas marcas es de 0,1º.

Estas observaciones bastan para saber que el número de posibles temperaturas corporales de interés práctico es limitado: estos valores son

33,1°; 33,2°; 33,3°;…etc., etc.,… 41,8°; 41,9°; 42°.

El lector podrá comprobar que esta lista tiene 90 valores diferentes, y de esta forma comunicar la temperatura corporal de una persona tiene en la práctica variedad 90. Hemos convertido así, dentro de una precisión razonable, una magnitud continua en una lista limitada de valores discretos.

A partir de estas consideraciones, diremos que:

Un conjunto de valores discretos, o una magnitud representada mediante un conjunto de ese tipo, se llamará digital.

El extendido uso de la computadora (el dispositivo digital por excelencia) demanda el uso de procedimientos para convertir las magnitudes continuas de interés en digitales. El proceso de digitalización será nuestro tema de análisis; pero antes debemos elaborar un mecanismo que nos permita relacionar la magnitud continua de partida con su equivalente digital.

Actividades para el capítulo §1.4

  1. Busque en su experiencia diaria otros dispositivos que midan una magnitud continua mediante su conversión en una magnitud análoga visible, por ejemplo en una longitud o un ángulo.
  2. En la gastronomía es común especificar la temperatura que debe tener un horno para cocinar un cierto plato. Argumente cuál podría ser un rango de temperaturas de interés y la precisión razonable en este caso, y obtenga la variedad de las posibles mediciones de temperatura de ese horno.
  3. Mediante un razonamiento análogo al anterior, estime la variedad de la altura que puede tener una persona.
§1.5 – Información compuesta medida en bits >

1 Nos referimos al nuevo sistema de patentes en uso en Argentina, en vigencia desde el 2015. Como el conjunto de las letras empleadas tiene variedad 26, mientras que el conjunto de los dígitos tiene variedad 10, y teniendo en cuenta que el sistema actual tiene la forma letra-letra-digito-digito-digito-letra-letra, la variedad del conjunto de todos los dominios (según lo que analizamos al hablar de información compuesta) tiene variedad 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 26 x 26, lo que da 456.976.000 dominios diferentes. Naturalmente, este sistema será útil en la medida que el parque automotor total del país no supere esa cifra.
2 Los físicos saben, desde hace mucho tiempo, que la Naturaleza es esencialmente discreta. La materia está formada por átomos, y éstos por partículas menores como electrones, protones y neutrones, y éstos a su vez por otras llamadas quarks. Cabe imaginar que esto podría seguir indefinidamente (y de esa manera sostener el concepto de continuidad), pero hasta la fecha parece que estas últimas partículas son efectivamente los ladrillos fundamentales de la materia, y por lo tanto debemos considerarla físicamente algo discreto.