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La batalla de los ∆E (segunda parte)

En la primera parte de esta serie vimos que el sencillo ∆E, nacido de la mano de L*a*b* allá por 1976, no era tan bueno como esperábmos para medir la diferencia perceptual entre colores, y también analizamos por qué, a pesar de ser éste un problema intrínseco de L*a*b*, resultó más práctico modificar la fórmula antes que ponerse a buscar un nuevo espacio uniforme.

Dado que desde aquí en adelante nos pondrems más "serios", precisemos qué es lo que estamos calculando al emplear la fórmula del ∆Eab clásico. Se tienen dos colores, dados por sus coordenadas L*1, a*1, b*1 y L*2, a*2, b*2. Cada coordenada presenta entonces una diferencia que llamaremos ∆L* = L*- L*1, ∆a* = a*- a*1 y ∆b* = b*- b*1. La pretensión original de L*a*b* es que la diferencia entre ambos se pudiera calcular simplemente mediante

    \[ \Delta E = \sqrt{\Delta L^*^2 + \Delta a^*^2 + \Delta b^*^2} \]

Para aquellos que prefieran un enfoque más visual, se trata simplemente de medir la diagonal del pequeño cubo cuyos vértices opuestos son los colores a comparar:

DeltaEab
Definición del ∆E clásico (∆Eab o ∆E76) como simple distancia entre dos colores ubicados en el espacio L*a*b*, aqui representado por la diagonal del cubo mostrado.

∆ECMC, el primer adversario

Cuando CIE publicó L*a*b, encontró rápida aceptación. La industria textil en particular, que era experta en la elaboración de tintas y colorantes desde fines del siglo XIX, fue una de la que más experimentó el uso del nuevo sistema y, también, la primera en notar las primeras inconsistencias.

Si recordamos nuevamente las elipses de MacAdam, es fácil deducir que en una métrica ideal, los colores que se ubican dentro de una tolerancia cualquiera pero fija respecto de otro color de referencia deberían formar un círculo alrededor de éste en un diagrama de cromaticidad, o bien una esfera en una representación tridimensional. A partir de grandes registros de mediciones de trabajos en diferentes condiciones de aceptación/rechazo, se encontró que los colores de igual tolerancia no formaban esferas sino marcados elipsoides dentro del propio espacio L*a*b*, es decir, la misma falencia que MacAdam señaló originalmente en el diagrama de cromaticidad CIE xy.

El guante lo recogió la Society of Dyers and Colourists o SDC, una sociedad profesional nacida en 1884 y dedicada "al color en todas sus manifestaciones", quien formó un comité para el análisis de este problema, el Colour Measurement Committee (CMC). Luego de sus estudios, este comité produjo en 1984 (es decir, 10 años antes que su siguiente contrincante) una nueva fórmula para el cálculo de las diferencias de color. Esta nueva fórmula, que tomó el nombre del comité y por lo tanto se la conoce como ∆ECMC, trajo una serie de conceptos novedosos que sus futuros contendientes también adoptarán.

La teoría de colores complementarios, que tiene su soporte fisiológico en la existencia de las células ganglionares presentes en la retina, explican el éxito en la representación de los colores en el sistema Munsell y forma parte de la definición misma de L*a*b*. Sin embargo, ese proceso, que ocurre ni bien los impulsos nerviosos abandonan los conos, es sólo una etapa previa antes de la interpretación final que se produce en la corteza visual. Allí es donde se forma la percepción del color y su identificación natural en términos de luminosidad, matiz y saturación. Era lógico, entonces, que la percepción de las diferencias estuviera íntimamente relacionada con ese modelo[1]; de hecho, el sistema Munsell tiene esa misma estructura (valor, croma, matiz). Fue necesario pasar de un sistema rectangular como L*a*b* a uno polar (más precisamente cilíndrico) denominado L*C*h*, donde la L* es igual en ambos sistemas, mientras C* (chroma: "croma", "saturación") es la distancia radial del color al eje L*, y h* (hue: "matiz", "tono") es el ángulo que forma el color respecto a algún eje de referencia arbitrario pero fijo; el elegido fue el eje +a*.

Lab-LCh
Coordenadas a*, b* de un cierto color (izquierda) y sus correspondientes coordenadas C*, h* (derecha). En esta vista azimutal, L* (el mismo en ambos sistemas) apunta hacia el lector.

Las fórmulas que permiten pasar de L*a*b* a L*C*h* son las siguientes:

    \[ L^* = L^* \]

    \[ C^* = \sqrt{{a^*}^2 + {b^*}^2} \]

    \[ h^* = \arctan\frac{b^*}{a^*} \]

Por esta razón, ∆ECMC comienza convirtiendo los colores a comparar a sus eqiuvalentes L*C*h*, y en ese campo les asigna un "peso" a cada coordenada en función de la sensibilidad de la visión humana a una variación de la misma. Es decir, seguimos midiendo distancias, pero cada una de ellas se mide en una escala diferente, en relación a su incidencia en la diferencia percibida.

La fórmula completa pueden hallarla en varios lugares[2][3], pero a los efectos de esta discusión digamos que ∆ECMC considera las diferencias no entre L*, a* y b*, sino entre L*, C* y h*, de acuerdo a esta expresión:

    \[ \Delta E_{CMC} = \sqrt{\left(\frac{\Delta L^*}{lS_L}\right)^2 + \left(\frac{\Delta C^*}{cS_C}\right)^2 + \left(\frac{\Delta H^*}{S_H}\right)^2} \]

Aunque la forma general parece similar (raíz cuadrada de suma de cuadrados), varias cosas tenemos para notar:

  • Los términos en ∆a* y ∆b* fueron reemplazados por ∆C* y ∆H*, es decir, diferencias en croma y en tono.
  • En la fórmula no aparece ∆h* (como se esperaría) sino ∆H*. La razón es que h* es un ángulo, y su diferencia ∆h* no representa una distancia. La distancia correspondiente se calcula a partir de ella y recibe el nombre de ∆H*[4].
  • ellipsoid
    Significado geométrico de los factores SL, SC y SH.

    Cada término diferencia se divide por un factor asociado SL, SC y SH que representan la tolerancia a la variación de esa dimensión particular. Esos factores, que nos permiten salir de la tolerancia esférica (como la pretendida por ∆Eab) hacia una elipsoidal más cercana a la realidad, no son fijos: dependen de los colores comparados. Un factor mayor a uno indica una mayor tolerancia en comparación con el ∆E clásico en esa dimensión particular, y como consecuencia muestra que la simple distancia numérica proporcionada por ∆Eab tendería a sobreestimar la diferencia percibida.

  • Por último, las diferencias ∆L* y ∆C* tienen dos parámetros adicionales, l y c respectivamente, que permiten "personalizar la fórmula" para un uso específico. Lo habitual es utilizar l = 1 y c = 1 cuando se busca diferencias perceptibles (criterio de perceptibilidad), o bien l = 2 y c = 1 cuando interesan diferencias "aceptables" (criterio de aceptabilidad). Estos dos casos suelen escribirse como ∆ECMC(1:1) y ∆ECMC(2:1).

∆ECMC vs ∆Eab

Veamos ahora cómo se comportan los factores SL, SC y SH. En este punto es importante aclarar que sólo un análisis numérico no nos permite saber cuál métrica es mejor; para ello es necesario comparar las cantidades calculadas por la métrica con la realidad. Tomando ∆ECMC como superior (hasta ahora), se trata de ver qué debe esperar aquél que está acostumbrado a trabajar con ∆Eab. Cada factor tiene un comportamiento específico:

  • El factor SL corrige las diferencias medidas según el nivel de brillo L* del color. Si bien ∆Eab es relativamente preciso alrededor de L* = 50, es sabido que por encima y por debajo de ese valor las diferencias predichas difieren de las percibidas. En el siguiente gráfico se muestra la variación del factor SL según L*. Notar que, según CMC, a partir de L* = 43 la distancia en la dirección L* tiende a sobreestimar la diferencia percibida respecto a la fórmula clásica; luego, ∆ECMC calculará diferencias menores a las estimadas por ∆Eab. A la inversa, para valores bajos de L*, la tolerancia se reduce hasta L* = 16 y permanece constante en alrededor de 0.5.
  • El factor SC hace lo propio con las diferencias de croma. El gráfico siguiente sugiere que ∆Eab sobreestima las diferencias a partir de C* = 6, y también que las subestima por debajo de ese valor. Como consecuencia, según CMC, ∆Eab calcula una diferencia menor a la percibida para colores cerca del eje neutro.CMC SCv2
  • Así llegamos al factor SH, que es el más complejo porque depende tanto de h* como de C*, y por lo tanto no podemos graficar su comportamiento con una curva, sino con una superficie cuya altura varía según el punto C*, h* considerado. La animación siguiente permite tener una idea del valor de SH en cada punto del plano a*b*. Cuando más alta es la superfice, mayor es la tolerancia a las diferencias de tono en ese punto. La primera graduación del eje vertical comenzando desde abajo representa el valor 1 (uno).CMC-SH-ani-v4

Conclusiones

Siendo británica de origen, no sorprende que la fórmula haya ganado rápida aceptación justamente allí, en especial en la industia textil. British Standard la adoptó en 1994 y al año siguiente se convirtió en un estándar internacional (ISO 105-J03 Textiles — Tests for colour fastness — Part J03: Calculation of colour differences). Ha ganado mucha popularidad y aquellos que reconocen las fallas de ∆Eab pero desconfían de ∆E00 la utilizan aún hoy.

El análisis numérico de esta fórmula nos permite deducir estas caracterìsticas:

  • Tal como se esperaba, CMC tiene en cuenta la mayor tolerancia de la visión humana a diferencias de croma en la región de saturaciones mas altas;
  • Reciprocamente, cerca del eje gris la tolerancia se hace más estrecha en comparación con ∆Eab. Si se comparan colores por debajo de C* = 6 vemos que la fórmula clásica subestima las diferencias.
  • Para colores oscuros (L* < 16), CMC prevé una tolerancia que es prácticamente la mitad que la predicha por ∆Eab. Sin embargo, esto último no suele ser un problema (al menos en gráfica) ya que es muy improbable llegar a densidades de impresión tan altas como para que L* caiga en ese rango;
  • Si bien no se pone de manifesto en estas gráficas, un gran problema de CMC es que las distancias no son simétricas: en general, la distancia desde un color 1 a un color 2 es distinta que la distancia del color 2 al 1 (en térmnos matemáticos es una cuasimétrica). Por lo tanto, el orden en que se comparen los colores es importante;
  • Aunque los parámetros SL, SC y SH son continuos respecto de sus variables, SH tiene zonas "de quiebre" donde el parámetro pasa de una variación decreciente a una creciente de manera abrupta. Sería ideal que esas transiciones fueran suaves y así no tener zonas "especiales" en el cálculo de la métrica. Puede verse en la superficie de SH varias aristas donde esto ocurre, en particular una ubicada en h* = 275ª (cercana al eje -b*) donde se encuentra el azul. Esa zona es especialmente problemática y de hecho su tratamiento es especial incluso en ∆E00, el que veremos después.

En la tercera parte de esta serie hablaremos de la llegada de ∆E94 al campo de batalla.


1 De hecho ya había suficiente soporte empírico para esta idea, y hasta aplicaciones prácticas. Cuando en 1962 se patentó el sistema de televisión color PAL, uno de sus puntos fuertes era solucionar un problema intrínseco en NTSC que consistía en que los errores en la transmisión de la señal daban lugar a cambios de tono en la imagen resultante. PAL incorpora un sistema donde, alternando la fase de lineas consecutivas (y de allí el nombre Phase Alternating Lines) esos errores se traducen a cambios de saturación en lugar de cambios de matiz, lo que los vuelve "menos objetables". Esto significa que para la época en que L*a*b* fue publicado, la industria de la televisión color ya sabía que la tolerancia a los cambios de color era diferente en el matiz que en la saturación.
4 CMC calcula esta "distancia de tono" como el promedio geométrico entre las dos cuerdas que forman los círculos de igual croma, y equivale sencillamente a \Delta H^* = \sqrt{\Delta a^*^2 + \Delta b^*^2 - \Delta C^*^2}.
Publicado enColorimetríaHistoria

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